同学们好，我是李状元数学课的李老师，讲人人都听得懂的高中数学课。
上节课我们讲了函数的奇偶性的概念和关系式。
我们知道了，偶函数的图像关于y轴对称，满足 f(x) = f(-x)，奇函数的图像关于原点对称，满足 -f(x) = f(-x).
我们接着往下看。其实一个函数并不一定是奇函数或者偶函数之一，还有两种情况，既不是奇函数又不是偶函数，既是奇函数又是偶函数。
既不是奇函数又不是偶函数，也就是非奇非偶函数，这种情况很好理解，想象一下，函数图像既不关于y轴对称也不关于原点对称是很普遍的。包括我们之前说，一个函数是奇函数或偶函数的前提是定义域关于原点对称，如果函数的定义域不是关于原点对称的，这个函数肯定也是非奇非偶的。
非奇非偶函数我们明白了，那么既是奇函数又是偶函数的是什么情况呢？我们可以举一个例子，y=0这个函数，它的图像其实就是x轴，是既关于y轴对称又关于原点对称的。
如果要判断两个函数组合成的一个新函数F(x)，比如两个函数的和差或者积商，或者是复合函数的形式，要判断这个新函数F(x)的奇偶性，一般的方法就是把 f(x) 和 g(x) 满足的关系式代进去，看看F(-x)和F(x)是相等还是成相反数。当然，首先F(x)的定义域还是要判断一下。
举个例子，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，F(x)=f(x)·g(x)，那么根据-f(x) = f(-x)，g(x) = g(-x)，就能得到F(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x)=-F(x)，也就判断出F(x)是一个奇函数。
如果已知一个函数的奇偶性，并且已知带有字母系数的函数表达式，要求参数的值，我们常常采用待定系数法，由f(x)±f(－x)＝0产生关于x的恒等式，利用对应项系数相等或赋值法求得字母的值。
函数的奇偶性还有什么应用呢？因为奇偶性本身有对称性的含义，所以如果已知函数的奇偶性，可以用它在y轴一侧的解析式来求另外一侧的解析式。
除此之外，函数奇偶性还有一个解题中非常常见的应用，就是单调性结合在一起。我们很容易发现，偶函数的图像既然是关于y轴对称的，也就是镜像的，那么在y轴两侧对应区间上的单调性就是相反的；而奇函数在y轴两侧对应区间上的单调性是相同的。
比如一个偶函数在负无穷到0上是递增的，那么在0到正无穷上就是递减的；一个奇函数在负无穷到0上是递增的，那么在0到正无穷上就也是递增的。